FUNCION Y REALCIONES
Relaciones y Funciones. En matemáticas una Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Imagen o Codominio, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del conjunto Imagen.
Por su parte, una Funciónaplicación o mapeo f, es una relación entre un conjunto de partida X denominado dominio y un conjunto de llegada Y denominado imagen o codominio de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento imagen f(x). Se denota por: f: X→ Y. De las definiciones anteriores podemos deducir que todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones.
Relaciones y Funciones. En matemáticas una Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Imagen o Codominio, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del conjunto Imagen.
Par ordenado y conjunto producto
Para adentrase en el estudio de las relaciones hay que establecer primero dos conceptos fundamentales, el primero de ellos es el par ordenado. Un par ordenado es un objeto matemático compuesto por dos elementos para los cuales se ha fijado un orden específico, la forma de denotarlo se ilustra a continuación:
<a, b> Par ordenado que tiene como primer componente a a y segundo ab
<Luis, José> Par ordenado que tiene como primer componente a Luis y segundo aJosé
Con respecto a los pares ordenados hay que enfatizar que existe un orden entre los elementos que los forman, lo que los distingue de simples conjuntos de dos elementos, no es el mismo par <a, b> que <b, a> sin embargo {a, b} y {b, a} representan al mismo conjunto.
<a, b> Par ordenado que tiene como primer componente a a y segundo ab
<Luis, José> Par ordenado que tiene como primer componente a Luis y segundo aJosé
Con respecto a los pares ordenados hay que enfatizar que existe un orden entre los elementos que los forman, lo que los distingue de simples conjuntos de dos elementos, no es el mismo par <a, b> que <b, a> sin embargo {a, b} y {b, a} representan al mismo conjunto.
Relación inversa y composición de relaciones
Si se invierte el orden de todos los pares de una relación R definida de A en B, ¿se obtiene una nueva relación? La respuesta es afirmativa, sólo que esta nueva relación sería de B en A, en este caso a la relación obtenida se le llama inversa de R
definición. Sea R una relación entonces se define a partir de R una nueva relación denominada inversa de R de la manera siguiente:
inversa de R = {<x, y> / <y, x> pertenece a R}
Ejemplo1: Sea R = {<1, 3>, <2, b>, <c, d>}
inversa de R = {<3, 1>, <b, 2>, <d, c>}
Ejemplo 2: Sea R = {<x, y> / x > y}
inversa de R = {<x, y> / x ≤ y}
¿Pero, es la inversa, la única operación aplicable a las relaciones? A continuación se describe otro tipo de operación.
definición. Si R y S son relaciones tales que el codominio de R es el conjunto de partida de S, entonces se define a partir de R y S una nueva relación denominada la compuesta de de R con S y se denota por SoR de la manera siguiente:
SoR = {<x,y> / existe un z tal que <x, z> pertenece a R y <z, y>pertenece a S}
Ejemplo: Sea R = {<2, 1>, <3. 3>, <4, 3>} y S = {<3, 4>, <2, 3>} entonces
SoR = {<3, 4>, <4, 4>} y RoS= {<3, 3>, <2, 3>}
Nótese que para encontrar la composición de dos relaciones (SoR), se debe buscar para cada para <x, z> de R, aquellos pares de S de la forma <z, y> y por cada uno encontrado se añade a la composición el par <x, y>
definición. Sea R una relación entonces se define a partir de R una nueva relación denominada inversa de R de la manera siguiente:
inversa de R = {<x, y> / <y, x> pertenece a R}
Ejemplo1: Sea R = {<1, 3>, <2, b>, <c, d>}
inversa de R = {<3, 1>, <b, 2>, <d, c>}
Ejemplo 2: Sea R = {<x, y> / x > y}
inversa de R = {<x, y> / x ≤ y}
¿Pero, es la inversa, la única operación aplicable a las relaciones? A continuación se describe otro tipo de operación.
definición. Si R y S son relaciones tales que el codominio de R es el conjunto de partida de S, entonces se define a partir de R y S una nueva relación denominada la compuesta de de R con S y se denota por SoR de la manera siguiente:
SoR = {<x,y> / existe un z tal que <x, z> pertenece a R y <z, y>pertenece a S}
Ejemplo: Sea R = {<2, 1>, <3. 3>, <4, 3>} y S = {<3, 4>, <2, 3>} entonces
SoR = {<3, 4>, <4, 4>} y RoS= {<3, 3>, <2, 3>}
Nótese que para encontrar la composición de dos relaciones (SoR), se debe buscar para cada para <x, z> de R, aquellos pares de S de la forma <z, y> y por cada uno encontrado se añade a la composición el par <x, y>
PARA DEJAR MAS EN CLARO ESTE TEMA SE DEJA UN VIDEO EN LA SIGUENTE DESCRIPCION
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